Worum geht es?

Damit Musik auch bei geringen Lautstärken druckvoll und nicht schwammig klingt, müssen alle Anteile des Frequenzspektrums gleichzeitig beim Ohr ankommen. In der Praxis ist das oft nicht der Fall, weil z. B. die vorderen Lautsprecher einige Meter näher am Hörer als der Subwoofer stehen: Die Bässe (vom Subwoofer) kommen also etwas später beim Hörer an, da der Schall einen weiteren Weg zurücklegen muss. Auch bei gleicher Entfernung können solche Verzögerungen auftreten: Der Luft im Hörraum oder in der Bassreflexbox schwingt sich erst etwas auf, wodurch es einige ms dauert, bis der maximale Schalldruck erreicht ist.

Manual

Subwoofer Optimizer hilft mit Messungen und Hörtests bei der Einstellung des Subwoofer-Delays. Schon Receiver der Einstiegsklasse bieten solche Einstellmöglichkeiten an: Oft nicht als "Delay", sondern als "Entfernung". Erhöht man diese Einstellung z. B. um 1 m, so wird der Subwoofer entsprechend (ca. 3 ms) früher mit dem Schallsignal versorgt. So soll die Dauer ausgeglichen werden, die der Schall über den längeren Weg zum Hörer braucht. Ziel ist, dass der Schall gleichzeitig mit dem Output der anderen Lautsprecher ankommt.

In der Praxis ist die Entfernung in Metern aber oft nicht der einzige Faktor für die Verzögerung des Schalls. Sowohl im Subwoofer als auch im Hörraum gibt es weitere Verzögerungen, da sich der Bass erst "aufschwingt". Die Luft verhält sich ähnlich wie hin- und her bewegtes Wasser in einer Badewanne.

Die App ist wie folgt zu bedienen:

Als erstes Ergebnis wird ein Text mit Empfehlungen für die Delay-Einstellung ausgegeben. Dieser sollte nur als erste Orientierung dienen: wesentlich mehr Informationen steckt in den Plots für Gruppenlaufzeit und Frequenzgang.

Der obere Plot (Gruppenlaufzeit) zeigt, bei welchen Frequenzen das Signal wie stark verzögert ankommt. Größere y-Werte entsprechen längeren Laufzeiten. Im folgenden Beispiel waren zwei Lautsprechern der Mittelklasse (Quadral Chromnium Style 50) und zwei Subwoofer an einem Denon Receiver im Einsatz:

Bilder zum Vergrößern anklicken. Links: Einstellmöglichkeiten für Delay bei einem Denon Receiver. Mitte und Rechts: Auswirkungen davon (siehe Text) als Screenshots von "Speaker Optimizer". Blau = linker, rot = rechter Kanal.

In beide Diagrammen wurden zur Veranschaulichung nach Augenmaß 2 gerade Hilfslinien eingezeichnet, die ein ausgewogenes Verhältnis zu den höheren Frequenzen andeuten sollen. Mehr Genauigkeit ist nicht erforderlich, die Hörschwelle liegt (bei diesen tiefen Frequenzen) bei 10 bis 20 ms. Die linke Messung liefert mit etwas gutem Willen gerade noch akzeptable Werte, da sich (fast) alles in einem solchen Bereich abspielt. Die rechte Kurve wurde gemessen, nachdem die Einstellung "Entfernung" im Receiver 3 m verringert wurde. Man sieht, dass der Bassbereich dadurch um ca. 10 ms angehoben ist (=später ankommt) und dadurch wiederum besserer mit dem rechten Teil harmoniert. Damit ist die korrekte Einstellung hinreichend genau gefunden. Die "Buckel" ab ca. 100 Hz sind wahrscheinlich eine Folge von Raumresonanzen. Gegen damit verbundene Unsicherheiten bietet die App zusätzlich Hörtests an. In den nächsten Schritten könnte das mit der App Speaker Setup angegangen werden.

Die unteren Kurven "Freq" zeigen die (im Grunde viel wichtigeren) Frequenzgänge. Man sieht, dass die Subwoofer zu stark eingestellt sind: Der linke Teil der Kurve ist im Vergleich zum Rechten höher. Außerdem sollte geprüft werden, ob beispielsweise die Resonanz bei knapp 50 Hz (grauer Kreis) beseitigt werden kann.

Zum Vergleich wurde eine Messung mit zwei Elektrostaten (Martin Logan ESL 9) in einem besser gedämmten Hörraum durchgeführt:

Messergebnis mit besseren Lautsprechern in einem besser gedämmten Raum. Links: Hörplatz, Rechts: gesuchter ungünstiger Platz.

Man sieht insbesondere die bessere Zeitrichtigkeit bei höheren Frequenzen, die wohl auf die elektrostatischen Wandler zurückzuführen ist. Das Bild ist insgesamt erheblich ausgewogener (links). Der Höreindruck unterscheidet sich entsprechend. Allerdings kann man auch hier erhebliche Schwankungen finden (rechts), wenn man nur lange genug sucht, d.h. verschiedene Mikrofonpositionen ausprobiert. Im Umkehrschluss heißt das, dass einzelne isolierte Buckel, die bei Änderung der Mikrofonposition verschwinden wenig Bedeutung haben. Solche Stellen, an denen bestimmte reflektierte Wellen "sehr hoch schwappen" sollten sich natürlich nicht gerade an den Hörplätzen befinden.

Die Messungen wurden mit einem Messmikrofon durchgeführt, allerdings können viele Erkenntnisse bereits mit dem eingebauten Mikrofon gängiger Android Geräte gesammelt werden. Die Grenzen werden hier aufgezeigt.

Wie ist die Subwoofer-GLZ ohne Delay Regler korrigierbar?

Im Allgemeinen will man die GLZ verkürzen. Bei gängigen Heim-Setups sollte das erste Augenmerk auf den Hörraum gerichtet werden: oft entstehen durch Raumresonanzen Gruppenlaufzeiten, die die der Subwoofer um das 10- oder 100-fache übersteigen. Wenn der Raum weniger Energie aufnehmen kann, verkürzen sich die GLZ. Dazu müssen insbesondere die Raummoden bedämpft werden, z.B. durch Helmholz- oder Plattenresonatoren. Auch aktive Dämpfungen durch mehrere Subwoofer (Double Bass Array) sind möglich. Je mehr Subwoofer eingesetzt werden, desto wahrscheinlicher ist eine günstige Verteilung einzelner Resonanzen und desto kürzer (also besser) wird die GLZ. Die GLZ der Subwoofer kann verringert werden, indem sie bei möglichst tiefer Frequenz und mit niedriger Oktavensteilheit abgekoppelt werden. Die restlichen Lautsprecher sollten alles, was sie können, auch übernehmen.

Zielgruppe

Alle, die ein gewisses technisch naturwissenschaftliches Interesse haben und das Kapitel Hintergrundwissen bereits gelesen haben. Alle, die Dinge wie "Phase", "Delay", zeitkorrigierte Lautsprecher, Laufzeitkorrekturen mit FIR Filtern genauer verstehen möchten.

Die Gruppenlaufzeit (GLZ, Symbol $\tau_{gr}$, gemessen in Millisekunden) gibt an, wie lange es dauert bis eine bestimmte Frequenz wiedergegeben wird, nachdem das Signal am Eingang angelegt wurde. Im allgemeinen Sprachgebrauch ist dabei oft nur das frequenzabhängige Laufzeitverhalten des Übertragungssystems gemeint. Der konstante (für alle Frequenzen gleiche) Anteil wird oft getrennt betrachtet und als Signalverzögerung (Delay) bezeichnet. Er ist z.B. wichtig um Bild und Ton zu synchonisieren, ändert den Klang aber nicht. Entscheidend für den Klang ist nur, ob verschiedene Frequenzen zeitlich auseinanderlaufen. Ein "schwerfälliger" Tieftöner ist beispielsweise durch eine längere Gruppenlaufzeit im Bassbereich zu erkennen. Bei der Wiedergabe könnte z.B. Schlagzeug dadurch "zu wenig impulsiv" wirken. Bei höheren Frequenzen wird es besonders problematisch, wenn sich das Laufzeitverhalten beider Stereo Kanäle (z.B. durch einen unsymmetrischen Hörraum) unterscheidet. Schlechte Ortbarkeit und Klangverfärbungen können die Folge sein. Entsprechende Korrekturen, z.B. durch den Einsatz von FIR Filtern, könenn nach meiner Erfahrung zu beeindruckenden Verbesserungen führen.

Anfangs etwas irreführend ist die Bezeichnung "Delay" für den entsprechenden Regler am Subwoofer Ausgang. Da hier nur der Frequenzbereich des Subwoofers betroffen ist (d.h. die restlichen Lautsprecher und somit ihre Frequenzen nicht), bewirkt er eine frequenzabhängige Änderung der Gruppenlaufzeit, hat also durchaus Einfluss auf den Klang.

Grundsätzlich ist diese Zeitrichtigkeit hörbar, sonst würde ein Logsweep genauso klingen wie ein Knall. Umstritten ist a) ab wann und b) ob auch Phasendrehungen hörbar sind. Die Effekte sind vergleichsweise gering. Ohne Maßnahmen an der Raumakustik, die Optimierung der Aufstellung der Lautsprecher und/oder des/der Subwoofer(s) braucht man sich wohl nicht mit der GLZ zu beschäftigen, danach sicherlich im High End Bereich, ansonsten vielleicht. Sachverhalte hoffentlich ein wenig beitragen:

Ab wann sind Laufzeiteffekte hörbar?

Die Hörschwelle hängt stark von Raum, Equipment und Hörer ab. Bis heute wird häufig [Blauert 1978] als Anhaltspunkt verwendet:
"Frequency Threshold of Audibility
8 kHz 2 ms
4 kHz 1.5 ms
2 kHz 1 ms
1 kHz 2 ms
500 Hz 3.2 ms"
Bei Frequenzen im Bereich unter 100 Hz liegt die Hörschwelle bei deutlich höheren Werten, vermutlich im Bereich von 10 bis 20 ms [Neumann], ein Anstieg der Laufzeit von 10 auf 40 ms führt zu "relevanten Unterschieden" [Goertz 2001].

Die Kurven in den Diagrammen oben zeigen für die elektrostatischen Lautsprecher Unregelmäßigkeiten in der Gruppenlaufzeit, die in dieser Größenordnung liegen, die preiswerteren dynamischen Lautsprecher in einem weniger gedämmten Hörraum haben deutlich schlechtere Werte. Diese Unterschiede sind deutlich hörbar. Die preiswerteren Lautsprecher liefern im besser gedämmten Wiedergaberaum zwar mehr Klangdefinition durch den reduzierte Diffusschall, die Akzentuiertheit der Elektrostaten kann aber nicht erreicht werden.

Der subjektive Unterschied hängt nach eigenen Versuchen vom Tonmaterial (impulsartig, periodisch) ab. Auch ungeübte Hörer hören die Unterschiede mühelos, soweit sie die innere Ruhe haben, sich auf das Hörerlebnis einzulassen. Korrekturen der GLZ durch FIR Filter verbessern die Situation erheblich, schließen die Lücke zwischen den verschiedenen Lautsprechern aber nicht. Dabei sollte aber nicht vergessen werden, dass FIR Filter auch das mindestens ebenso wichtige Einschwingverhalten [ http://www.ursound.de/Kapitel%202.pdf ] korrigieren.

Laut Literatur spielen zusätzlich die Abhörlautstärke und psychoakustische Diskrepanzen (kleine Räume, die wie große Konzertsäle klingen) eine Rolle. Die Mikrofonierung beeinflusst das Ergebnis vermutlich auch: durch viele Mikrofone pro Instrument könnte die Zeitrichtigkeit beeinflusst werden, da ein Instrument verschiedene Teile des Klangspektrums in verschiedene Richtungen abstrahlt. Dadurch könnte ein weiter entferntes Mikrofon beispielsweise mehr tiefe Frequenzen und ein näheres Mikrofon (etwas früher) mehr hohe Frequenzen auffangen.

Der Autor dieser Zeilen wohnt in der Nähe der Jesus-Christus-Kirche in Berlin Dahlem, die international für ihre hervorragende Akustik bekannt ist - trotz "lausiger" Nachhallzeiten gemessen an den Vorgaben von DIN 18041 [Burkowitz, Fuchs 2009], und damit sicherlich auch entsprechender GLZ. Er war bei zahlreichen Tonaufnahmen dort anwesend und kann die Klangqualität bestätigen.

Ist nur ein kleiner Frequenzbereich verzögert, ist das weniger hörbar. In [Goossens] wird das mit künstlich verzerrtem Händeklatschen untersucht. Offenbar liegt das daran, dass dann auch nur wenig Energie verspätet abgegeben wird: Erst wenn durch veränderte Gruppenlaufzeiten ein deutlicher zweiter Impuls (größer als die Nachhörschwelle) in den Energiekurven sichtbar wird, beginnt die Hörbarkeit.

Um die Effekte durch die Gruppenlaufzeit (nur diese sind mit dem Delay-Regler korrigierbar) von all diesen Seiteneffekten zu trennen, bieten sich folgende Möglichkeiten:

Statements zur GLZ

Einerseits gehört die GLZ in das Aufgabenfeld von Komponentenherstellern und Toningenieuren mit entsprechendem Wissen und jahrelanger Erfahrung, andererseits bieten heute manche Komponenten Einstellmöglichkeiten an (Filtercharakterisk wie Bessel, Tschebyscheff, Butterworth oder auch Linearphasigkeit bzw. Minimalphasigkeit bei FIR-Filtern), die im Grunde solches Wissen voraussetzen. Ob ein theoretischer Backgruond letztlich zu besseren Resultaten führt, oder ob die aufgewendete Zeit (wegen vieler Seiteneffekte) doch besser in Versuch und Irrtum investiert ist, ist eine vielschichtige Frage, deren Diskussion i.d.R. ergebnislos endet.

Phase

Man kann die Phase eines Subwoofers um 180° drehen, indem man den Lautprecher umpolt. Insbesondere bei Subwoofern die auf der zu den Lautsprechern gegenüberliegenden Seite platziert sind, kann das den Klang verbessern. Einige Soundprozessoren bieten auch feinere Phaseneinstellungen zwischen 0 und 180° an, das kann den Klang weiter verbessern.

Videos

Teil 1 von 4: Wofür ist der Phasenregler beim Subwoofer, was bedeutet Delay? Wie kann man das mit Zentimetermaß und Smartphone einstellen?

Teil 2 von 4: Was macht die Speaker Management Unit Behringer Ultra Drive DCX 2496 genau, wenn man Phase und Delay einstellt? Funktionsgenerator und Oszilloskop zeigen Details, die mit Soundkarte und Software nicht zu sehen sind. Nebenbei wird durch Zufall eine interessante Eigenheit des 2 kW Class D Verstärker STA 2000D von IMG Stageline gefunden.

Teil 3 von 4: Was messen und zeigen Softwareprodukte wie REW oder Acourate?

4. Phase und Delay: Interpretation der Ergebnisse

Verbesserungsmöglichkeiten

Neben den oben beschriebenen Verbesserungsmöglichkeiten geben Hifi-Apps anhand der Impulsantworten der einzelnen Lautsprecher an den einzelnen Hörplätzen weitere Hinweise. Das Thema wird ständig weiter entwickelt, so dass hier nur einige allgemeine Statements erfolgen: Insbesondere eindeutige Schwächen in der Kanalgleichheit und auch Nachhallzeiten, die auf sehr wenig Dämpfung hinweisen können den Klang deutlich verschlechtern. Beides lässt sich mit Hifi-Apps leicht messen und oft genauso einfach korrigieren. Vor jeder Messung sollten die allgemeinen Hinweise zur Aufstellung von Lautsprechern und zur Aufstellung von Subwoofern berücksichtigt werden.

Für Techniker

Durch die Fouriertransformation der Transferfunktion eines linearen zeitinvarianten Systems wird eine Zeitverschiebung (Delay) $\tau_{d}$ zu einer frequenzproportionalen Phasendrehung: $ \mathscr{F}\{ F(\omega)\} = f(t) \Rightarrow \mathscr{F}\{\exp(i \omega \tau_{d}) F(\omega)\} =f(t-\tau_{d})$ wobei $\omega$ die Kreisfrequenz und $t$ die Zeit ist. Anders ausgedrückt kann in diesem einfachen Fall die Transferfunktion als $H(\omega)=k\exp(i \omega \tau_{d}) $ angesetzt werden, also $$ \begin{align} |H( \omega)| &= k \\ \angle H( \omega) &: = \varphi = -\omega \; \tau_{d}\\ \end{align} $$ Wegen des linearen Zusammenhangs zwischen $\omega$ und $\angle H(\omega)$ kann der Delay folglich sowohl als einfacher Bruch als auch als Differenzialquotient geschrieben werden: $$ \tau_{d} = - \frac{ \varphi( \omega)}{\omega} = - \frac{ \mathrm{d}\varphi( \omega)}{\mathrm{d}\omega} $$

Alternativ kann man von einem frequenzabhängigen Verhalten der Transferfunktion ausgehen. Vernachlässigt man den für das Zeitverhalten unwichtigen Betrag $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d\omega}} |H(\omega)| = 0$, so beschreibt $\tau_{d}=-\varphi'$ das erste Glied der Taylor-Entwicklung von $H$ um $\omega_0$: $$ \begin{align} Y_k(\omega) &= H_k(\omega) X_k(\omega) \\ &= |H(\omega_0)| \exp\Big(i \varphi(\omega_0) + i (\omega-\omega_0) \varphi'(\omega_0) \Big) X_k(\omega) \\ &= \Bigg( |H(\omega_0)| \exp\Big(i \varphi(\omega_0) -i \omega_0 \varphi'(\omega_0) \Big) \Bigg) \exp\Big(i \varphi'(\omega_0)\omega\Big) X_k(\omega) \end{align} $$ Die erste Klammer hat einen konstanten Wert, die zweite Klammer charakterisiert die Phasendrehung durch den Delay.
Anschaulich besagen beide Gleichungen, dass wenn zur Überbrückung einer bestimmten Entfernung ein Wellenzug einer bestimmten Frequenz benötigt wird, o.B.d.A. zwei Wellenzüge der doppelten Frequenz benötigt werden. In der realen Welt geht dieser einfache Zusammenhag natürlich verloren. Es bleibt aber sinnvoll, die Phasendrehung in einen trivialen Anteil $\tau_{pd}$ zur Beschreibung der Zeitverschiebung und den (meist entscheidenden) Anteil, der die frequenzabhängigkeit des Systems durch Resonanzen, Filtereffekte usw. bestimmt zu splitten. $$ \begin{align} \tau_{pd} &= -\frac{\mathrm{d} \varphi(\omega)}{\mathrm{d}\omega} \bigg \vert_{\omega = \omega_0} \\ \tau_{gr} &= -\frac{\mathrm{d} \varphi(\omega)}{\mathrm{d}\omega} \\ \end{align} $$ Software zur Darstellung der Gruppenlaufzeit bietet deshalb eine "Unroll-Funktion" an, die automatisch oder manuell den Abzug eines $\tau_{pd}$-Anteils ermöglicht. Damit erhält der User die Möglichkeit, das durch Resonanzen, Filtereffekte usw. bestimme Systemverhalten ohne störende Phasendrehungen anzusehen. In der Praxis spielt dieser Anteil in sehr viel langsameren Zeitskalen als die Periodendauer des Signals, er verändert eher die Einhüllende. Setzt man man ein Signal mit einer Trägerfrequenz $\omega$ an, das durch eine Einhüllende moduliert wird, dann teilen sich $\tau_{gr}$ und $\tau_{pd}$ bei der Übertragung entsprechend auf: $$ x(t) = \underbrace{ m(t)}_{\text{ Einhüllende }} \underbrace{ \cos(\omega t)}_{\text{ Trägerfrequenz }} \longrightarrow \underbrace{ m(t-\tau_{gr} )}_{\text{ Einhüllende }} \; \underbrace{ \cos(\omega (t- \tau_{pd} ))}_{\text{ Trägerfrequenz }} $$ Ein reiner Phasen Delay $\tau_{pd}$ kann wie oben beschrieben im cos-Term untergebracht werden, der entscheidende Rest verschiebt die Einhüllende in Abhängigkeit davon, welche Frequenz sie einhüllt. Die frequenzabhängige Änderung der Amplitude wurde zur Vereinfachung weggelassen.

In zeitdiskreten Übertragungsystemen, wie sie die digitale Signalverarbeitung darstellt, wird die diskrete Gruppenlaufzeit auf das Abtastintervall $T$ bezogen: $$ \frac{\tau_d(\Omega)}{T} = - \frac{\mathrm{d}\,\operatorname{arg}\{H(e^{i\Omega})\} }{\mathrm{d}\Omega} $$ mit der auf die Abtastfrequenz $f_s$ normierten Kreisfrequenz $\Omega$: $$ \Omega = \frac{\omega}{f_\mathrm{s}} = \omega \cdot T $$ Der Vorteil der normierten Form in zeitdiskreten Systemen ist die Unabhängigkeit von konkreten Abtastfrequenzen.

Beispiel

Die Übertragungsfunktion eines diskreten Systems sei eine Mittelung über die ersten 5 Indizes, also $$ \begin{align} h[n] &= \frac{1}{5} (\delta(n) + \delta(n-1) + \delta(n-2) + \delta(n-3) + \delta(n-4)) \\ H(\Omega) &= \frac{1}{5} (e^{-i0} + e^{-i\Omega} + e^{-i2\Omega} + e^{-i3\Omega} + e^{-i4\Omega} ) \\ &= \frac{1}{5} ( e^{i2\Omega} + e^{i\Omega} + e^{0} + e^{-i\Omega} + e^{-i2\Omega} ) e^{-i2\Omega} \\ &= \frac{1}{5} ( 2 \cos(2 \Omega) + 2 \cos( \Omega) +1) e^{-i2\Omega} \\ \end{align} $$ Die cos-Terme in der Klammer (der Amplitudengang) sind reell, nur der letzte Multiplikant hat Einfluss auf die Phase. Mithin wird die Gruppenlaufzeit $$ \tau_{\rm gr}(\Omega) = - \frac{\mathrm{d}\varphi(\Omega)}{\mathrm{d}\Omega} = - \frac{\mathrm{d} (-2\Omega)}{\mathrm{d}\Omega} = 2 $$ Anschaulich ist das nachvollziehbar, wenn man sich als Signal eine Sprungfunktion vorstellt, die bei $t=t_0=0$ von 0 auf 1 springt. Erreicht das Signal das System, so wird bei $t<0$ der Output zu 0, dann bei $t=0, 1, 2, 3, 4$ zu $1/5$, $2/5$, $3/5$, $4/5$, $1$, d.h. nach der Gruppenlaufzeit ist das Mittel der Flanke erreicht.

Nebenbei bemerkt handelt es sich bei dem Beispiel um einen liearphasigen Filter: Die Phase beinhaltet nur den $\arg \exp(-i2\Omega)$ Term. Grob gesprochen kommt das letztlich durch den symmetrischen Aufbau der 5 Koeffizienten. Während linearphasige Filter durch diesen symmetrischen Aufbau i.A. ihr Maximum in der Mitte der Impulsantwort haben, hat die minimalphasige Version des selben Filters (mit gleichem Amplitudengang) die grössten Koeffizienten am Beginn ihrer Impulsantwort. Auf [falstad.com] können verschiedene Filter simuliert werden.

Manche Messgeräte können aus zwei Phasenmessungen bei benachbarten Frequenzen (Näherungswerte für) die Gruppenlaufzeit (direkt) berechnen. Die App "Subwoofer Optimizer" bestimmt die Transfer Funktion per Logsweep, der mit dem Algorithmus von Farina ausgewertet wird. Die Gruppenlaufzeit wird (nach Glättung) aus dem Differenzenkoeffizienten der Phase bestimmt.

Literatur

[Blauert 1978] Blauert, J. and Laws, P: "Group Delay Distortions in Electroacoustical Systems" Journal of the Acoustical Society of America Volume 63, Number 5, pp. 1478-1483 (May 1978)

[Burkowitz, Fuchs 2009] Peter K. Burkowitz, Helmut V. Fuchs "Das vernachlässigte Bass-Fundament" Vereinszeitschrift des Verbands Deutscher Tonmeister 2/2009 p. 35

[Goertz 2001] Goertz A, Wolff M (2001) "Neue Methoden zur Anpassung von Studiomonitoren an die Raumakustik mit Hilfe digitaler Filterkonzepte" Teil 1 von 2. Fortschritte der Akustik, DAGA 2002 http://www.ifaa-akustik.de/files/DAGA2002-Teil1.PDF http://www.ifaa-akustik.de/files/DAGA2002-Teil2.PDF

[Goossens] Sebastian Goossens "Wahrnehmbarkeit von Phasenverzerrungen" Institut für Rundfunktechnik, München https://forum2.magnetofon.de/bildupload/goosphase.pdf

[Münker 2016] Christian Münker: "DSP auf FPGAs: Kap. 5-2 Do-It-Yourself FIR Filterentwurf" https://www.youtube.com/watch?v=y0PNXUI5x1U

[falstad.com] "...some educational applets I wrote to help visualize various concepts in math, physics, and engineering..."
http://www.falstad.com/mathphysics.html
http://falstad.com/dfilter/